Le blog de Bahamu

Dimanche 9 janvier 2011 7 09 /01 /Jan /2011 13:38

Barycentre

I. Barycentre de deux points pondérés

Théorème :

Soient A et B deux points et $\alpha$ et $\beta$ deux réels.
Si $\alpha + \beta \neq 0$ , alors il existe un unique point G tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}$ .

Définition :

Soient A et B deux points et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha + \beta \neq 0$ .
L'unique point G tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}$ est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients $\alpha$ et $\beta$ .

remarques :

On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, $\alpha$ ) et (B, $\beta$ ),
ou encore que G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )}.
On note : G = bar {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )}

Si $\alpha$ = $\beta$ , on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).

Théorème :

Soit G le barycentre des points pondérés (A, $\alpha$ ) et (B, $\beta$ ), avec $\alpha + \beta \neq 0$ .
Alors, pour tout point M du plan, on a : $(\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}$
D'où l'on déduit : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}$

démonstration :
On sait que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
Donc, à l'aide de la relation de Chasles : $\alpha (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MA}) + \beta (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{0}$
Donc : $\alpha \overrightarrow{GM} + \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{GM} + \beta \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$
Donc : $(\alpha + \beta) \overrightarrow{GM} = -(\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB})$
Donc : $(\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}$
On en déduit que : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}$

Propriétés :

Si G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )} avec $\alpha + \beta \neq 0$ et A et B deux points distincts,
alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si $\alpha + \beta \neq 0$ et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].

homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )} avec $\alpha + \beta \neq 0$ ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × $\alpha$ ); (B, k × $\beta$ )} avec k réel non nul.

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Par Bahamu
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